Sparplan (bei vorschüssiger Zahlung)

Hier können die folgenden Angaben eingetragen werden:

Anzahl Jahre:  
Sparbetrag (jährlich am Jahresanfang eingezahlt): 
Zinssatz (p.a., d.h. pro Jahr):



Formeln:
S(k) = Kontostand am Anfang des Jahres k; A = Sparbetrag (jährlich am Jahresanfang
des Jahres k-1 eingezahlt, siehe Grafik); Z(k) = Zinsen, die zu Beginn des Jahres k
gezahlt werden; p = Zinssatz (p.a.).

Es wird folgendes berechnet:
k wird um eins erhöht; S(k) = S(k-1)*(1+p/100) + A*(1+p/100) = (S(k-1) + A)*(1+p/100);
Z(k) = S(k)-S(k-1)-A.

Berechnung des jährlichen Sparbetrags

Bei gegebenem Zinssatz p (p.a.), gegebener Laufzeit (Anzahl Jahre der Zahlung n)
und gegebenem Kontostand nach n Jahren S(n):

Kontostand nach n Jahren:  
Sparbetrag bzw. jährliche Zahlung: 
Zinssatz (p.a., d.h. pro Jahr):
Laufzeit:


Bemerkung:
Hier und unten gilt immer:
n = Laufzeit in Monaten bzw. Anzahl Zahlungen, natürliche Zahl (d.h. aus {1,2,...});
S(n) = Kontostand nach n Jahren; A = Sparbetrag (jährlich vorschüssig eingezahlt, siehe Grafik);
p = Zinssatz (p.a.).

Formeln:
 Für den Fall p > 0:
 q = 1+i mit i = p/100,
A = S(n)*i /(qn+1-q).
Die obige Formel ergibt sich über die Summenformel der geometrische Reihe, denn es gilt
S(n) = A*q + A*q2 + ... + A*qn. Hier ist eine Herleitung.


Berechnung des Kontostands nach n Jahren

Bei gegebenem Zinssatz p (p.a.), der Laufzeit n
und der jährlichen Zahlung A:

Kontostand nach n Jahren:  
Sparbetrag bzw. jährliche Zahlung: 
Zinssatz (p.a., d.h. pro Jahr):
Laufzeit:


Formeln:
 Für den Fall p > 0:
 q = 1+i mit i = p/100,
S(n) = A*q*(qn-1)/i.


Berechnung der Laufzeit

Bei gegebenem Zinssatz p (p.a)., der Kredithöhe K
und der jährlichen Zahlung A:

Kontostand nach n Jahren:  
Sparbetrag bzw. jährliche Zahlung: 
Zinssatz (p.a., d.h. pro Jahr):
Laufzeit (*):



Formeln:
 Falls p > 0 und A > 0:
q = 1+i mit i = p/100.
Es gilt x = ln(S(x)*i/A+q)/ln(q) - 1.
Oben wurde statt n die Variable x verwendet, da sich nach dieser Formel auch eine
Zahl x ergeben kann, die keine natürliche Zahl ist. Für n kann dann die kleinste natürliche
Zahl gewählt werden, die größer oder gleich x ist. Somit wäre beispielsweise (mit dem selben
A und p) S(n) größer oder gleich S(x). (*) Neben "Laufzeit" wird oben x ausgegeben.

Berechnung des Zinssatzes

Bei gegebener jährlichen Zahlung A, der Laufzeit n
und dem Kontostand nach n Jahren S(n):

Kontostand nach n Jahren:      
Sparbetrag bzw. jährliche Zahlung:     
Zinssatz (p.a., d.h. pro Jahr): Startwert für Newton-Verfahren:
Laufzeit:    


Formeln:
 Für den Fall A < S(n)/n:
Es wird numerisch (hier mit dem Newton-Verfahren)
eine reelle Lösung i der Gleichung
S(n)*i + A*(1+i-(1+i)n+1) = 0
gesucht, die positiv ist. Danach ergibt sich p = i*100.
Für A = S(n)/n ist p = 0.

Bemerkung:
Alle Größen, die oben gesetzt bzw. in eine Formel eingesetzt werden können, wie S(n) bzw. n, p und A,
werden als nicht negativ vorausgesetzt (wobei n auch nicht gleich Null sein darf, wie oben beschrieben).
Wird ein negativer Wert in ein Feld eingeben, so wird automatisch der Betrag gebildet. Alle ausgegebenen
Werte werden außerdem auf vier Nachkommastellen gerundet.