Formeln:
R(k) = Restschuld zu Beginn des Monats k; R(0) = Kredithöhe;
k ist zu Beginn gleich Null.
A = monatliche Zahlung (erste Zahlung ein Monat nach Kreditaufnahme, siehe
Grafik);
T(k) = Tilgung am Anfang des Monats k; Z(k) = Zinsen, die
zu
Beginn des Monats k zu
zahlen sind (aus dem Vormonat);
p = Zinssatz (p.a.).
Es muss R(0)*p/1200 < A gelten,
damit die Tilgung positiv ist.
Solange R(k)*(1+p/1200)>A gilt wird folgendes berechnet:
k wird um eins erhöht; Z(k) = R(k-1)*p/1200; T(k) = A-Z(k); R(k) = R(k-1)-T(k).
Danach ist noch R(k)*(1+p/1200) als letzte Zahlung (zu Beginn des Monats k+1) zu leisten.
Der Wert 1200 in den obigen Formeln ergeben sich aus 100*12, da es 12 Zahlungen pro
Jahr gibt.
Bemerkung:
Bei der Berechung der Werte auf dieser Seite wird keine Rundung
vorgenommen (bis auf die Genauigkeit von Javascript).
Es wird genau nach der oben angegebenen Formel gerechnet. Dadurch stimmt eine
monatliche Rate, die man unten berechnet
(über A = i*K/(1-vn)), mathematisch genau zur Laufzeit (bis auf die
ausgegebene Genauigkeit und der Rechnergenauigkeit von
Javascript). D.h. aber
nicht, dass eine Bank so rechnet, da Zinsen, die
verbucht werden,
nur auf 2 Nachkommastellen
auf einem Auszug erscheinen. Wenn man die Zinsen
jeweils am Monatsende auf 2 Nachkommastellen rundet,
dann sieht der
Tilgungsplan wie hier aus.
Hier sieht man dann auch, wie sich bei der Voreinstellung von Kredithöhe: 10.000 €,
Zinssatz: 12%,
Rate: 888,4879 (diese Rate wurde unten bei der Laufzeit von 12 Monaten
berechnet) ein längere Laufzeit ergibt.
Das selbe gilt auch für eine Verzinsung nach der Zinseszinsformel für ein Kapitel nach n
Jahren: Kn = Anfangskapital*(1+p/100)n.
Wenn die Zinsen am Jahresende jeweils auf zwei Stellen gerundet gebucht werden,
so würde Kn allgemein nach n Jahren nicht mit dem
Kontostand übereinstimmen, da diese Formel keine jährlichen Rundungen
berücksichtigt.
Die in der Tabelle angezeigten Ergebnisse werde allerdings gerundet, obwohl mit
allen Nachkommastellen, die Javascript verwendet,
gerechnet wird. So kann es vorkommen, dass in der Tabelle
31
0
2401.24
4
2405.25
steht, was zunächst verwunderlich ist (denn 2401,24 + 4 ist nicht 2405,25),
aber ohne die Rundung bei der Ausgabe der Tabelle würde hier
31
0
2401.2435838832803
4.002072639805467
2405.245656523086
stehen.
Berechnung der monatlichen Rate
Bei gegebenem Zinssatz p (p.a.), gegebener Laufzeit (Anzahl Monate der Zahlung n)
und der Kredithöhe K:
Bemerkung: Hier und unten gilt immer:
n = Laufzeit in Monaten bzw. Anzahl Zahlungen, natürliche Zahl (d.h. aus
{1,2,...}); K = Kredithöhe;
A = monatliche Zahlung (erste Zahlung ein Monat nach Kreditaufnahme, siehe
Grafik); p = Zinssatz (p.a.).
Formeln:
Für den Fall p > 0:
q = 1+i mit i = p/1200.
Mit v = 1/q gilt A = i*K/(1-vn).
Die obige Formel ergibt sich über die Summenformel der geometrische Reihe, denn es gilt
K = A*v + A*v2 + ... + A*vn.
Hier ist eine Herleitung.
Berechnung der Kredithöhe
Bei gegebenem Zinssatz p (p.a)., gegebener Laufzeit (Anzahl Monate der Zahlung n)
und der monatlichen Zahlung A:
Formeln:
Für den Fall p > 0:
q = 1+i mit i = p/1200.
Mit v = 1/q gilt K = A*(1-vn)/i.
Berechnung der Laufzeit
Bei gegebenem Zinssatz p (p.a)., gegebener Kredithöhe K
und der monatlichen Zahlung A:
Formeln:
Falls p > 0 und p*K/1200 < A (und K >= 0):
q = 1+i mit i = p/1200.
Es gilt
x = -ln(1-i*K/A)/ln(q).
Oben wurde statt n die Variable x verwendet, da sich nach dieser Formel
auch eine
Zahl x ergeben kann, die keine natürliche Zahl ist. Für n kann dann
die kleinste natürliche
Zahl gewählt werden, die größer oder gleich x ist.
Mit diesem n müsste
beispielsweise
mit dem selben K und p monatlich
höchstens der Betrag A
gezahlt werden. (*) Neben "Laufzeit" wird oben x ausgegeben.
Berechnung des Zinssatzes
Bei gegebener monatlicher Zahlung A, Laufzeit (Anzahl Monate der Zahlung n)
und der Kredithöhe K:
Formeln:
Für den Fall A > K/n:
Es wird numerisch (hier mit dem Newton-Verfahren)
eine reelle Lösung i der Gleichung
A*(1-(1+i)-n) - i*K = 0
gesucht, die positiv ist.
Danach ergibt sich p = i*1200.
Für A = K/n ist p = 0.
Bemerkung:
Alle Größen, die oben gesetzt bzw. in eine Formel eingesetzt werden können, wie K
bzw. R(0), n, p und A,
werden als nicht negativ vorausgesetzt (wobei n auch nicht gleich Null sein
darf, wie oben beschrieben).
Wird ein negativer Wert in
ein Feld eingeben, so wird automatisch
der Betrag gebildet. Alle ausgegebenen
Werte werden außerdem
auf vier Nachkommastellen gerundet.
